מישור במרחב – הצגה פרמטרית ומשוואת מישורוקטורים 572 · שיעור 32
וקטורים · שאלון 572
מישור במרחב – הצגה פרמטרית ומשוואת מישור
פרק 8 – מישור במרחב
1נוסח השאלה
2סעיף א – הצגה פרמטרית
3סעיף ב – וקטור נורמל
4סעיף ג – משוואת המישור
5סעיף ד – נקודות במישור
📄 נוסח השאלה
נתונות הנקודות A(1 , 0 , 0) , B(0 , 2 , 0) , C(0 , 0 , 3).
א. כתבו הצגה פרמטרית של המישור ABC.
ב. מצאו וקטור נורמל (וקטור מאונך) למישור ABC.
ג. מצאו את משוואת המישור ABC.
ד. האם הנקודה D(2 , −2 , 3) נמצאת במישור? הנקודה E(k , 2 , 3) נמצאת במישור – מצאו את k.
סעיף א – הצגה פרמטרית
AB = B − A = (0 − 1 , 2 − 0 , 0 − 0) = (−1 , 2 , 0)
📐 וקטור בין שתי נקודות
AC = C − A = (0 − 1 , 0 − 0 , 3 − 0) = (−1 , 0 , 3)
שני הווקטורים לא קולינאריים, והם וקטורי כיוון של המישור.
x = A + t · AB + s · AC
📐 הצגה פרמטרית של מישור
נציב A = (1 , 0 , 0) , AB = (−1 , 2 , 0) , AC = (−1 , 0 , 3):
x = (1 , 0 , 0) + t(−1 , 2 , 0) + s(−1 , 0 , 3)
📐 וקטור בין שתי נקודות
AB = B − A
(xB − xA , yB − yA , zB − zA)
(xB − xA , yB − yA , zB − zA)
📐 הצגה פרמטרית של מישור
x = A + t · u + s · v
שני וקטורי כיוון לא קולינאריים
שני וקטורי כיוון לא קולינאריים
סעיף א – הצגה פרמטרית · המשך
x = (1 , 0 , 0) + t(−1 , 2 , 0) + s(−1 , 0 , 3)
✅ פתרון סופי: x = (1 , 0 , 0) + t(−1 , 2 , 0) + s(−1 , 0 , 3)
סעיף ב – וקטור נורמל
נסמן n = (a , b , c). הנורמל מאונך לשני וקטורי הכיוון:
n · AB = 0
📐 וקטור נורמל למישור
נציב AB = (−1 , 2 , 0):
(a , b , c) · (−1 , 2 , 0) = 0
−a + 2b = 0
n · AC = 0
📐 וקטור נורמל למישור
n · u = 0 , n · v = 0
סעיף ב – וקטור נורמל · המשך
n · AC = 0
נציב AC = (−1 , 0 , 3):
(a , b , c) · (−1 , 0 , 3) = 0
−a + 3c = 0
יש שתי משוואות ושלושה נעלמים, לכן בוחרים ערך לאחד מהם. נבחר a = 6 – מספר שמתחלק ב־2 וב־3, כדי שלא יהיו שברים.
−a + 2b = 0
סעיף ב – וקטור נורמל · המשך
−a + 2b = 0
נציב a = 6:
−6 + 2b = 0
b = 3
−a + 3c = 0
נציב a = 6:
סעיף ב – וקטור נורמל · המשך
נציב a = 6:
−6 + 3c = 0
c = 2
בדיקה: (6 , 3 , 2) · (−1 , 2 , 0) = 0 ✓
✅ פתרון סופי: n = (6 , 3 , 2)
סעיף ג – משוואת המישור
ax + by + cz + d = 0
📐 משוואת מישור
נציב a = 6 , b = 3 , c = 2:
6x + 3y + 2z + d = 0
הנקודה A במישור – מציבים את שיעוריה כדי למצוא את d:
📐 נקודה על מישור
6x + 3y + 2z + d = 0
נציב x = 1 , y = 0 , z = 0:
📐 משוואת מישור
ax + by + cz + d = 0
n = (a , b , c) מאונך למישור
n = (a , b , c) מאונך למישור
📐 נקודה על מישור
שיעורי הנקודה מקיימים את משוואת המישור
סעיף ג – משוואת המישור · המשך
נציב x = 1 , y = 0 , z = 0:
6 · 1 + 3 · 0 + 2 · 0 + d = 0
d = −6
6x + 3y + 2z − 6 = 0
בדיקה: הנקודה C: 6 · 0 + 3 · 0 + 2 · 3 − 6 = 0 ✓
✅ פתרון סופי: 6x + 3y + 2z − 6 = 0
סעיף ד – נקודות במישור
מציבים את שיעורי D במשוואה:
📐 נקודה על מישור
6x + 3y + 2z − 6
נציב x = 2 , y = −2 , z = 3:
6 · 2 + 3 · (−2) + 2 · 3 − 6 = 6
התוצאה 6 ולא 0 – הנקודה D לא במישור.
הנקודה E במישור:
📐 נקודה על מישור
שיעורי הנקודה מקיימים את משוואת המישור
סעיף ד – נקודות במישור · המשך
הנקודה E במישור:
6x + 3y + 2z − 6 = 0
נציב x = k , y = 2 , z = 3:
6k + 3 · 2 + 2 · 3 − 6 = 0
6k + 6 = 0
k = −1
סעיף ד – נקודות במישור · המשך
k = −1
✅ פתרון סופי: D לא במישור , k = −1
📌 סיכום התשובות
סעיף א
x = (1 , 0 , 0) + t(−1 , 2 , 0) + s(−1 , 0 , 3)
סעיף ב
n = (6 , 3 , 2)
סעיף ג
6x + 3y + 2z − 6 = 0
סעיף ד
D לא במישור , k = −1
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il
→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא